Формирование диверсифицированного портфеля акций и прогноз индекса MICEXBMI


Садовникова Наталья Алексеевна
доктор экономических наук, профессор,
заведующая кафедрой отраслевой и бизнес-статистики
Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова
Богданов Евгений Александрович
руководитель проектов программы информационной безопасности
ООО «Эйч-эс-би-си Банк (РР)»
2016 / Общество: политика, экономика, право

Аннотация: в работе проанализированы отраслевые индексы Московской биржи. Произведена оценка статистической зависимости между ними. Построена оптимизационная модель и получен оптимальный набор индексов. Рассмотрен индекс MICEXBMI. Протестированы трендовые модели для его прогноза. Предложены гармоника Фурье и прогноз индекса MICEXBMI на ее основе. Модель протестирована на статистическую значимость, нормальность распределения остатков, гетероскедастичность, наличие структурных разломов и автокорреляции.

Приверженность разным теориям рынка, выбор того или иного стиля инвестирования и использование разных стратегий определяют подход к созданию портфеля ценных бумаг [1, с. 603]. В данной статье формирование оптимального портфеля акций на российском фондовом рынке основано на принципах модели оценки капитальных активов. В качестве стиля выбрано инвестирование в рост для краткосрочного периода в 2-3 месяца и последующий пересмотр портфеля. Расчеты доходности и риска акций базируются на исторических данных за 3 месяца 2015 г.

Таблица 1 - Основные индексы акций

Индекс Код
Индекс ММВБ MICEX
INDEXCF
Индекс РТС RTSI
Индекс голубых фишек RTSSTD
Индекс второго эшелона MICEXSC
RTS2
Индекс широкого рынка MICEXBMI
RUBMI

В целях формирования диверсифицированного портфеля целесообразно включать в него акции разных видов экономической деятельности [2, c. 47]. На Московской бирже (MOEX) используются индексы, названия и коды которых приведены в таблице 1 [3]. Наряду с основными индексами применяются отраслевые (таблица 2).

Таблица 2 - Основные отраслевые индексы акций

Индекс Код Обозначение
Нефти и газа MICEXO&G X1
Электроэнергетики MICEXPWR X2
Телекоммуникаций MICEXTLC X3
Металлов и добычи MICEXM&M X4
Машиностроения MICEXMNF X5
Банков и финансов MICEXFNL X6
Потребительских товаров и торговли MICEXCGS X7
Химического производства MICEXCHM X8
Транспорта MICEXTRN X9

Степень тесноты и направления связи между акциями разных видов экономической деятельности оценивалась на основе расчета и анализа парных коэффициентов корреляции Пирсона (гху), величина которых отражает тесноту связи (таблица 3). Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: положительный - прямую зависимость, отрицательный - обратную.

Таблица 3 - Характеристика связи на основе коэффициента корреляции

Значение коэффициента связи Характеристика связи
До |±0,3| Практически отсутствует
|±0,3| - |±0,5| Слабая
|±0,5| - |±0,7| Умеренная
|±0,7| - |±1,0| Сильная

Для анализа использованы ежедневные данные по каждому из отраслевых индексов за период с 6 января 2014 г. по 31 марта 2015 г. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Матрица парных коэффициентов корреляции между акциями из разных видов экономической деятельности

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 Коэффициент
1 0,331 0,090 0,416 -0,115 0,549 0,418 0,250 -0,284 X1
1 0,219 0,961 -0,442 0,935 -0,292 -0,481 -0,556 X2
1 0,056 0,618 0,287 -0,580 0,483 0,525 X3
1 -0,598 0,928 -0,373 -0,537 -0,691 X4
1 -0,365 0,770 0,784 0,940 X5
1 -0,082 -0,243 -0,485 X6
1 0,869 0,635 X7
1 0,744 X8
1 X9

Очевидно, что акции разных видов экономической деятельности по-разному связаны. Например, практически отсутствует связь между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Банки и финансы» (MICEXFNL): /micexm&m/micexfnl = 0,056. Сильная прямая зависимость наблюдается между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Химическое производство» (MICEXCHM), парный коэффициент корреляции которых составил 0,961, и умеренная обратная связь - между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Транспорт» (MICEXTRN): /"micexm&m/micexfnl = 0,691.

Для формирования сбалансированного диверсифицированного портфеля акций необходимо включить в его состав акции тех видов экономической деятельности, характер связи которых статистически значим. Для этого поставлена задача: на основе матрицы парных коэффициентов корреляции (см. таблицу 4) определить, индексы каких видов экономической деятельности сформируют состав портфеля [4, c. 111].

Для вычисления индекса вхождения в портфель введены бинарные переменные W1...W9 (0; 1), которые соответствуют переменным MICEXCGS, MICEXCHM, MICEXFNL, MICEXM&M, MICEXMNF, MICEXO&G, MICEXPWR, MICEXTLC, MICEXTRN. Значение W1...W9, равное 1, определяет вхождение элемента в портфель, 0 - его отсутствие в портфеле.

Вспомогательная матрица вычисляется умножением каждого элемента исходной матрицы на соответствующие W1...W9, находящиеся на пересечении строк и столбцов. Таким образом, если оба элемента из MICEXCGS, MICEXCHM, MICEXFNL, MICEXM&M, MICEXMNF, MICEXO&G, MICEXPWR, MICEXTLC, MICEXTRN входят в состав портфеля, то их W1...W9 равны 1 и парный коэффициент корреляции включается в матрицу. Следовательно, если одна из переменных W1...W9 равна 0, то коэффициент не включается.

Целевая функция представляет собой сумму включенных парных коэффициентов по строкам и столбцам. Необходимо отметить, что подобное сложение применяется исключительно для оптимизации, поскольку помогает определить оптимальный набор разнонаправленных пар.

Кроме того, результат вычисления целевой функции не несет никакой смысловой нагрузки, так как сложение парных коэффициентов корреляции недопустимо.

Для расчета тесноты связи между выбранными индексами используется множественный коэффициент корреляции. Для оптимизации модели целевая функция минимизируется, то есть находится та комбинация индексов, парные коэффициенты корреляции которых или разнонаправленны, или имеют слабую тесноту связи.

В качестве изменяемых параметров заданы бинарные переменные W1... w9. Бинарные ограничения на W1...W9 позволяют принимать только значения 0 и 1. Дополнительно важным ограничением является сумма W1...W9, большая или равная 5. Это ограничение введено в целях диверсификации как необходимость включения минимум 5 разных отраслевых индексов. Иначе оптимизатор не включит ни одного индекса, а целевая функция будет равна 0.

Результаты расчетов приведены в таблице 5. В оптимальный состав портфеля вошли следующие отраслевые индексы: MICEXCGS («Потребительские товары и торговля»); MICEXCHM («Химическое производство»); MICEXM&M («Металлы и добыча»); MICEXMNF («Машиностроение»); MICEXTRN («Транспорт»).

Таблица 5 - Оптимизированная модель

Коэффициент Wi W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 b
Wi 0,331 0 0,416 -0,115 0 0 0 -0,284 0,348 1
W2 0 0,961 -0,442 0 0 0 -0,556 -0,038 1
W3 0 0 0 0 0 0 0 0
W4 -0,598 0 0 0 -0,691 -1,289 1
W5 0 0 0 0,940 0,940 1
W6 0 0 0 0 0
W7 0 0 0 0
W8 0 0 0
W9 0 1
-0,040 -
b 1 1 0 1 1 0 0 0 1 - 5

Множественный коэффициент корреляции определен по формуле

формула Множественного коэффициента корреляции

где rу - парный коэффициент корреляции,
b' - коэффициент регрессии в стандартизированном масштабе.

Рассчитанный множественный коэффициент корреляции для портфеля, состоящего из всех 9 отраслевых индексов, составил 0,911; из 5 отраслевых индексов, отобранных с помощью оптимизационной модели, - 0,717, что показывает менее тесную связь, но все же сильную. Результат может быть использован для отбора акций из соответствующих видов экономической деятельности.

При формировании портфеля акций рассмотрена рыночная модель CAPM, согласно которой ожидаемая доходность ценной бумаги связана с коэффициентом бета, отражающим зависимость доходности акции от доходности рыночного индекса.

Для определения доходности рынка рассмотрим индекс MICEXBMI, по которому и построим прогноз доходности и риска рынка. Данный индекс представляет собой ценовые, взвешенные по рыночной капитализации композитные индексы российского фондового рынка, включающие 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов. Ввиду сложности природы рыночного индекса применение тривиальных методов прогнозирования не дает корректных результатов [5, с. 64]. Поэтому часто для расчета ожидаемой доходности используют математическое ожидание на основе исторических данных, предполагая аналогичную доходность в будущем. Для анализа рассмотрен временной ряд данных о ежедневной цене закрытия индекса MICEXBMI за период с 12 марта по 25 августа 2015 г.

Модель строилась методом изучения известных типов трендов по мере усложнения уравнения. Графический анализ временного ряда, а также экономическая природа индекса MICEXBMI показали высокую интенсивность колебаний ряда и периодичность. Следовательно, целесообразно исследовать периодические колебания методами спектрального анализа. С этой целью возможно использование гармоник Фурье [6, с. 81].

В результате исследования тенденции сглаженного ряда индекса MICEXBMI получена модель гармоники Фурье шестого порядка:

формула модели гармоники Фурье шестого поряд

Коэффициенты модели a2, b2, b4, a5 статистически значимы на уровне 0,001 %; a6 - на уровне 0,050 %. Расчетная величина F-критерия Фишера - Снедекора F(5,109) = 93,271 больше

табличного значения. Коэффициент детерминации R2 = 0,814 показал высокую объяснительную силу модели. На это же указывает низкое значение остатков RSS = 7748,58. Стандартная ошибка регрессии составила Se = 8,43. Математическое ожидание ц = 1169,13, стандартное отклонение а = 18,94 [7, с. 187]. Коэффициент изменчивости остатков составил V = Se/M = 0,007, что является допустимой погрешностью для модели, используемой для прогнозирования [8, с. 210].

Также проведен ряд тестов, которые показали нормальность распределения остатков, отсутствие гетероскедастичности (тест Уайта), структурных разломов в тенденции (тест Чоу). Тест Дарбина - Уотсона (DW = 0,23) подтвердил автокорреляцию во временном ряду [9, с. 84].

Таким образом, модель гармоники Фурье использована для прогнозирования индекса MICEXBMI. С учетом длины временного ряда (115 наблюдений) прогнозный период составил 10 уровней на период с 7 по 20 октября 2015 г. (таблица 6). Стандартная ошибка прогноза варьируется в пределах 8,696-9,316 %, что можно считать удовлетворительной погрешностью.

Таблица 6 - Прогноз индекса MICEXBMI

Октябрь 2015 г. Значение Стандартная ошибка
Прогноз min max
7 1188,95 1170,50 1207,40 9,309
8 1187,97 1169,51 1206,43 9,316
9 1186,20 1167,81 1204,31 9,279
10 1183,70 1165,45 1201,95 9,208
11 1180,55 1162,49 1198,60 9,111
12 1176,84 1158,99 1194,68 9,004
13 1172,70 1155,06 1190,34 8,899
14 1168,28 1150,81 1185,74 8,811
15 1163,71 1146,38 1181,04 8,744
16 1159,15 1141,90 1176,40 8,704
17 1154,74 1137,53 1171,96 8,687
18 1150,63 1133,41 1167,85 8,687
19 1146,94 1129,70 1164,17 8,696
20 1143,76 1126,51 1161,02 8,706

Получив прогнозные значения индекса MICEXBMI на период с 7 по 20 октября 2015 г., можно рассчитать ожидаемую доходность и риск рынка, %:

  • математическое ожидание (доходность) г = -0,09;
  • стандартное (среднеквадратическое) отклонение (риск) σ = 0,25.

Очевидно, что на «падающем» рынке доходность отрицательная. Тем не менее, анализируя прогнозируемый тренд, можно выделить периоды «роста» и «падения». При правильной стратегии входа в акции и выхода из них возможно получить более высокую доходность, если инвестировать в ценные бумаги во время «роста», а выходить - на этапе «падения». Существуют и другие способы получения доходности на «падающем» рынке, например «короткие» продажи (short selling). При инвестировании на повышающейся цене доходность и риск индекса для периода роста с 10 по 30 сентября 2015 г. составили, %:

  • г = 3,02;
  • σ = 0,10.

Прогноз показал удовлетворительную погрешность, стандартная ошибка варьируется на уровне 6,5-7,2 %. На основании анализа определены ожидаемые доходность и риск индекса MICEXBMI. Предлагаемый подход приемлем для долгосрочного инвестирования, для краткосрочной перспективы результаты оказываются некорректными. В статье использована более сложная модель прогноза ожидаемой доходности рыночного индекса с применением ряда Фурье.

Ссылки и примечания:

1. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М., 2014. 848 с.

2. Садовникова Н.А., Дарда Е.С. Методология организации статистического наблюдения за затратами финансовых организаций: монография. Ярославль, 2013. 187 с.

3. Полную информацию см. на официальном сайте Московской биржи (http://moex.com/ru/indices).

4. Садовникова Н.А., Сакова О.И., Солтаханов А.У. Инвестиции в основной капитал в Российской Федерации. Методология статистического и эвристического анализа: монография. Саарбрюккен, 2012. 173 с.

5. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М., 1977. 199 с.

6. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник. М., 2016. 152 с.

7. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. М., 1989. 214 с.

8. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М., 2002. 253 с.

9. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Указ. соч. С. 84.

Журнал Арбитражный управляющий
Скачать ФинЭкАнализ
Программа для проведения финансового анализа по данным бухгалтеской отчетности
Скачать ФинЭкАнализ
Провести Финансовый анализ Онлайн
Онлайн сервис для проведения финансового анализа по данным бухгалтеской отчетности
Попробовать ФинЭкАнализ